NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

Ce qu’on appelle la «théorie analytique des nombres» ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu’on donne à ces mots, c’est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d’applications à des exemples importants. Il s’agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particuliers qui se posent en arithmétique et qui, pour la plupart, consistent à étudier (cf. calculs ASYMPTOTIQUES pour la position du problème et les notations o et O de Landau) l’«allure à l’infini» de certaines fonctions définies par des conditions de nature arithmétique: par exemple le nombre 神(x ) de nombres premiers p 諒 x ou le nombre U(n ) des solutions de l’équation x ²¹ + x ²² = n en nombres entiers. Depuis 1830, on a imaginé, pour résoudre ces questions, des méthodes d’une extraordinaire ingéniosité qui consistent à associer aux fonctions arithmétiques étudiées des fonctions analytiques auxquelles on peut appliquer la théorie de Cauchy ou l’analyse harmonique; mais, malgré les succès spectaculaires obtenus par ces méthodes, on ne peut dire que l’on en comprenne vraiment les raisons profondes.

1. La théorie additive

Le point de vue formel

Un monoïde est un ensemble M où est définie une loi de composition (s , t ) 料 st qui est associative et possède un élément neutre e (autrement dit es = se = s pour tout s 捻 M); les groupes sont évidemment des monoïdes; d’autres exemples importants sont formés par l’ensemble N des entiers 閭 0, avec pour loi l’addition, et l’ensemble N des entiers 礪 0, avec pour loi la multiplication. Étant donné un corps commutatif K, on définit, pour tout monoïde M, l’algèbre K

du monoïde M sur K de la façon suivante: on définit l’espace vectoriel K

à l’aide d’une base (u ^s ), dite canonique, où l’ensemble d’indices est M; puis on prend pour table de multiplication de cette base u ^s u ^t = u ^st , quels que soient s et t dans M; on vérifie qu’on a bien défini ainsi une algèbre associative dont l’élément unité est u ^e . Tout élément x 捻 K[M] s’écrit d’une seule manière:

avec 﨡^s 捻 K et 﨡^s = 0 sauf pour un nombre fini de valeurs de s 捻 M; il revient au même de dire que K

est formé des familles ( 﨡^s ), s 捻 M, d’éléments de K, indexées par M, telles que 﨡^s = 0 sauf pour un nombre fini d’éléments de M; l’addition se fait composante par composante et la multiplication est définie par:

avec:

somme qui a un sens dans K, puisqu’elle n’a qu’un nombre fini de termes 0.

Remarquons maintenant que, si l’on ne fait aucune hypothèse sur les familles ( 﨡^s ) et ( 兀^s ), le second membre de (2) a encore un sens si le monoïde M satisfait à la condition:

(D) Pour tout s 捻 M, il n’existe qu’un nombre fini de couples (v , w ) d’éléments de M tels que vw = s .

Par exemple, les monoïdes N et N définis ci-dessus vérifient (D). Pour un tel monoïde, on définit donc sur l’espace vectoriel K[

] de toutes les familles ( 﨡^s ), s 捻 M, une structure d’algèbre par les formules (1) et (2); on dit que cette algèbre est l’algèbre large du monoïde M.

Lorsque M = N, K[[N]] n’est autre que l’algèbre des séries formelles à une indéterminée: si l’on pose u ¹ = X, on a u ⁿ = Xⁿ pour tout entier n 閭 1; au lieu d’écrire ( 﨡ⁿ ), n 捻 N, les éléments de cette algèbre, on convient de les noter:

la loi de multiplication (2) donnant alors la formule usuelle:

du produit de séries entières. On note encore cette algèbre K[[X]]. Elle contient évidemment l’algèbre des polynômes K[X]; en outre, pour qu’une série formelle:

ait un inverse dans K[[X]], il faut et il suffit que 﨡⁰ 0. Les fractions rationnelles P(X)/Q(X) telles que Q(0) 0 sont donc des éléments de K[[X]]; en particulier, on a:

L’ordre 諸(f ) d’une série formelle:

non nulle est le plus petit exposant n tel que 﨡ⁿ 0. Soit (f ⁿ ) une suite de séries formelles telle que l’ordre 諸(f ⁿ ) tende vers + 秊 avec n . Alors, on peut définir dans K[[X]] la somme infinie :

et le produit infini :

de la façon suivante. Pour tout entier m , il existe un entier N(m ) tendant vers + 秊 avec m tel que, dans la somme f ¹ + f ² + ... + f ⁿ , resp. le produit (1 + f ¹)...(1 + f ⁿ ), tous les termes de degrés 諒 m soient les mêmes dès que n 閭 N(m ). Il y a donc une série formelle h (X) et une seule telle que, pour tout entier m , les termes de degrés 諒 m dans h (X) soient les mêmes que ceux des sommes f ¹ + f ² + ... + f ⁿ , resp. des produits (1 + f ¹)...(1 + f ⁿ ), pour tout n 閭 N(m ); c’est cette série qui, par définition, est la somme infinie (4), resp. le produit infini (5). Cette définition justifie, pour une série formelle, l’écriture:

On supposera toujours par la suite que K est le corps C des nombres complexes; si ( 﨡ⁿ ) est une suite de nombres complexes, on dit souvent que la série formelle:

est la série génératrice de la suite ( 﨡ⁿ ). Cela étant, des propriétés d’une suite ( 﨡ⁿ ) on peut souvent déduire une expression de la série génératrice sous une autre forme qui permet d’obtenir des relations entre ( 﨡ⁿ ) et d’autres suites.

Exemples

Désignons par 﨡ⁿ le nombre de solutions en entiers 閭 0 de l’équation diophantienne à trois variables x + 2y + 3z = n . En raison de (3), la série génératrice:

est égale à:

Si l’on décompose cette fraction rationnelle en éléments simples, on obtient:

où j désigne la racine cubique de l’unité exp (2 神i /3); utilisant de nouveau (3) ainsi que les formules analogues pour 1/(1 漣 X)^k , qui s’obtiennent en dérivant un nombre quelconque de fois les deux membres de (3), on obtient aisément l’expression de 﨡ⁿ comme l’entier le plus proche de (n + 3)²/12.

Plus généralement, soit a ¹, a ², ..., a ^r des entiers 礪 0, sans diviseur commun 1, et notons 﨡ⁿ le nombre de solutions en entiers 閭 0 de l’équation à r inconnues:

On voit que la série génératrice correspondante est:

La décomposition de cette fraction rationnelle en éléments simples donne encore 﨡ⁿ ; si l’on ne cherche qu’une partie principale de 﨡ⁿ , on constate aisément qu’elle provient du pôle d’ordre le plus élevé, c’est-à-dire le point 1, et l’on trouve:

Sommes de carrés

Il peut se faire que la série génératrice d’une suite ( 﨡ⁿ ) de nombres complexes fournisse une série entière convergente dans un voisinage de z = 0 lorsqu’on y substitue à l’indéterminée X un nombre complexe z . Des propriétés de la fonction analytique f (z ) égale à la somme de cette série entière, on peut alors déduire des renseignements sur la valeur de 﨡ⁿ .

Les premiers exemples de cette méthode ont été donnés par Jacobi à l’aide de sa théorie des fonctions elliptiques, pour le problème consistant à chercher le nombre de solutions en nombres entiers (positifs ou négatifs) de l’équation à r inconnues:

Ce nombre est le coefficient de z ⁿ dans le développement en série entière de la fonction (f (z ))^r , où:

série entière qui converge pour |z | 麗 1. Or f (z ) est une des «fonctions thêta» de la théorie des fonctions elliptiques, et certaines de ses puissances s’expriment par d’autres développements en série qui fournissent le nombre de solutions de (7).

Par exemple, pour r = 2, on a:

d’où l’on déduit que le nombre U(n ) de solutions de x ²¹ + x ²² = n est quatre fois la différence entre le nombre des diviseurs de n de la forme 4k + 1 et le nombre des diviseurs de n de la forme 4k + 3.

De même, pour r = 4, on a la formule:

où m parcourt l’ensemble des nombres impairs 閭 1 et où 靖¹(m ) désigne la somme des diviseurs de m . On en conclut que, si l’on pose n = 2 見m , où m est impair, le nombre de solutions de:

est 8 靖¹(m ) si 見 = 0 et 24 靖¹(m ) si 見 礪 0; en particulier ce nombre est toujours 閭 1 (théorème de Lagrange).

Il convient de noter ici qu’il y a des formules explicites pour le nombre de solutions de (7) pour r 諒 8 qui se déduisent de la théorie générale des formes quadratiques à coefficients entiers, cette théorie «expliquant» aussi l’absence de telles formules pour r 礪 8 ^{[cf. QUADRATIQUES (FORMES)]}.

Partitions

Le «nombre de partitions» p (n ) d’un entier n 閭 1 est par définition le nombre de solutions en entiers 閭 0 de l’équation:

où le nombre d’inconnues x ^m n’est pas limité (mais, pour un n donné, il est clair qu’on a nécessairement x ^m = 0 pour tout m 礪 n ). Ce nombre peut aussi être défini comme le nombre des classes d’équivalence des partitions d’un ensemble de n éléments, lorsqu’on range dans une même classe deux partitions qui se déduisent l’une de l’autre par une permutation de l’ensemble. Il est immédiat que la série génératrice converge pour |z | 麗 1 et est donnée par:

L’idée fondamentale est d’exprimer le coefficient p (n ) à l’aide de la formule de Cauchy:

où C est un cercle de centre O et de rayon r 麗 1; le problème est d’évaluer cette intégrale lorsque r est pris voisin de 1. On utilise le fait que F(z ) est liée à une «fonction modulaire» 兀(t ) par la formule:

où t est un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive. La propriété essentielle de cette fonction 兀 est la formule de transformation:

pour toute transformation modulaire:

où a , b , c , d sont des entiers tels que ad 漣 bc = 1 et où 﨎^s est une racine 24-ième de l’unité, déterminée explicitement en fonction de a , b , c , d . Comme il est immédiat que z = 1 est un point singulier de la fonction F, il en est de même, en vertu de (12) et (13), de tout point «rationnel» sur le cercle unité, c’est-à-dire de la forme exp (2 神ih/k ) où h et k sont des entiers premiers entre eux. La méthode extrêmement ingénieuse de Hardy-Ramanujan, perfectionnée par Rademacher, consiste à faire intervenir les contributions de ces points singuliers dans l’intégrale (11), en divisant le cercle C en arcs partiels dont chacun est «voisin» d’un tel point. De façon précise, pour tout entier N, on considère l’intégrale (11) étendue au cercle C de rayon exp (face=F0019 漣 2 神²). On range en une suite croissante les fractions h/k à termes premiers entre eux et tels que 0 諒 h 諒 k 諒 N (suite de Farey d’ordre N). La théorie élémentaire de la suite de Farey conduit, pour trois fractions consécutives h /k 麗 h/k 麗 h /k , à «isoler» la fraction centrale par l’intervalle I^{h ,k} d’extrémités:

on démontre que ces extrémités s’écrivent aussi:

les longueurs:

étant donc bornées par:

pour i = 1, 2, ce qui permet les majorations ultérieures. À ces intervalles correspondent sur le cercle C les arcs 﨡^{h ,k} de la «dissection de Farey» définis par:

Utilisant (14), on est conduit à remplacer dans l’intégrale:

la fonction F(x ) par l’expression:

avec:

de sorte que:

où 﨏 varie de 漣 L² à L¹, où 切^k est la fonction «élémentaire»:

et enfin où 諸^{h ,k} est la racine 24-ième de l’unité définie par:

avec:

Un calcul assez élémentaire de majoration montre que, lorsqu’on fait ces substitutions dans les diverses intégrales étendues aux arcs 﨡^{h ,k} , l’erreur totale commise est O(N^-1/2). Il reste à évaluer les intégrales:

cela se fait à l’aide d’une utilisation très ingénieuse de la théorie de Cauchy et conduit finalement au remarquable résultat suivant obtenu par H. Rademacher (1937). Le nombre p (n ) s’exprime par une série convergente :

où sh désigne le sinus hyperbolique, où c = 神 連2/3, où:

h parcourant l’ensemble des entiers 麗 k premiers à k , et enfin où:

on peut obtenir des majorations commodes du reste de cette série en fonction de M lorsqu’on ne considère que les M premiers termes. Pour obtenir la valeur de p (n ), il suffit évidemment de prendre M tel que ce reste soit en valeur absolue 麗 1/2 puisque p (n ) est un entier. Par exemple, pour n = 721, il suffit de prendre M = 21, et l’on trouve:

De plus, chacun des termes de la série (15), considéré comme fonction de n , est négligeable devant le précédent; en particulier, on a la partie principale (résultat dû à G. H. Hardy et à S. Ramanujan):

Signalons encore que la formule (10) a permis à Ramanujan, en se plaçant au point de vue formel, d’obtenir des propriétés arithmétiques intéressantes des nombres p (n ); par exemple, on a les congruences:

Le problème de Waring

Le théorème de Lagrange sur la possibilité d’écrire tout entier comme somme de quatre carrés au plus a conduit en 1792 le mathématicien anglais E. Waring à avancer la conjecture que, pour tout exposant entier k 閭 2, il existe un entier g (k ) tel que l’équation:

possède au moins une solution en nombres entiers, quel que soit l’entier n 閭 0. La première démonstration de cette conjecture fut donnée par Hilbert en 1909; on dispose actuellement de méthodes beaucoup plus puissantes, dues à G. H. Hardy, à J. E. Littlewood et à I. M. Vinogradov et qui non seulement prouvent la conjecture de Waring avec une bonne estimation de g (k ), mais encore donnent une estimation approchée du nombre de solutions de (17) en nombres entiers. L’idée de Hardy et de Littlewood est de généraliser la méthode de Jacobi en considérant la fonction:

série entière convergente pour |z | 麗 1. Le nombre de solutions de:

en entiers 閭 0 est donc donné, comme dans (11), par la formule de Cauchy:

l’intégrale étant étendue à un cercle de centre O et de rayon r 麗 1. La fonction f n’a ici aucune propriété analogue à (12) et (13), mais z = 1 en est évidemment un point singulier, et des considérations heuristiques montrent qu’il en est encore de même de tout point «rationnel» exp (2 神ip/q ), la «contribution» d’un tel point dans l’intégrale (18) étant d’autant plus importante que q est plus petit. La méthode de Hardy-Littlewood consiste à décomposer encore le cercle C en arcs partiels centrés aux points correspondant à une suite de Farey ; on ne peut plus ici obtenir de majoration commode pour les arcs 﨡^{h ,k} tout entiers; il faut les restreindre d’une certaine manière, obtenant ce qu’on appelle les «major arcs »; leur contribution donne la partie principale de r ⁰(n ); mais, pour le prouver, il faut majorer la contribution des arcs restants de C («minor arcs »). Les calculs de majoration et d’approximation sont ici beaucoup plus difficiles que pour le problème des partitions.

On peut, avec Vinogradov, présenter cette méthode d’une manière un peu différente; pour un n donné, on a évidemment |x ^j | 諒 P = [n ^1/k ] pour 1 諒 j 諒 s pour toute solution de (18); il n’y a donc pas lieu de faire intervenir les exposants m ^k 礪 n dans la série f (z ), ce qui conduit à remplacer f par le polynôme :

et permet, dans (19), de prendre pour C le cercle |z | = 1 lui-même. D’autre part, il n’y a pas intérêt à tenir compte des valeurs x ^j = 0 dans les solutions de (18); finalement, si l’on note r (n ) le nombre de solutions de (18) pour lesquelles x ^j 閭 1 pour tout j , on obtient l’expression:

où:

Pour traiter cette intégrale, Vinogradov retient le principe de la méthode de Hardy-Littlewood, en divisant l’intervalle [0,1] en «major arcs» et «minor arcs» liés aux suites de Farey; mais il utilise, en outre, pour majorer la contribution des «minor arcs», une méthode nouvelle, beaucoup plus puissante que la méthode de H. Weyl qu’avaient appliquée à cette fin Hardy et Littlewood.

Les résultats sont les suivants:

a ) La contribution des «major arcs» fait intervenir la fonction gamma; elle est de la forme:

où face=F9828 G (n , s ) est un nombre dépendant de n , s et k , mais restant borné lorsque n varie de 1 à + 秊, s et k restant fixes. Ce nombre, dit «série singulière de Hardy-Littlewood», s’obtient de la façon suivante. Pour tout entier q 閭 1, on pose:

pour tout entier a tel que 1 諒 a 諒 q 漣 1, premier à q ; on pose ensuite:

la somme s’étendant aux entiers a précédents, et enfin:

on prouve que la série est absolument convergente pour s 閭 2k + 1 et que, pour s 閭 4k , il y a un nombre c 礪 0 tel que face=F9828 G(n , s ) 閭 c pour tout entier n .

b ) Hardy et Littlewood prouvent que, pour s 閭 (k 漣 2)2^k-1 + 5, la contribution des «minor arcs» est o(n ^s/k size=1^漣1), et Vinogradov obtient le même résultat en supposant seulement que k 閭 12 et s 閭 10 k ² ln k . Si l’on désigne par G(k ) le plus petit nombre tel que, pour s 閭 G(k ), l’équation (18) ait des solutions dès que n est supérieur à un entier n ⁰(k ) dépendant de k , on voit donc que, pour k 閭 12, on a G(k ) 諒 10k ² lnk , et la partie principale de r (n ), lorsque n tend vers + 秊, est donnée par le premier terme de (21) dès que s 閭 10 k ² ln k . En fait, par un raffinement de ses méthodes, Vinogradov a pu montrer que l’on a l’inégalité G(k ) 諒 k (3 ln k + 11), sans peut-être, alors, que la partie principale de r (n ) soit donnée par (21).

c ) On montre aisément que G(k ) 閭 k + 1 et on conjecture que G(k )/k est borné. On a G(2) = 4 par le théorème de Lagrange, les nombres de la forme 8 m + 7 ne pouvant être somme de trois carrés; Davenport a prouvé que G(4) = 16. Pour les autres valeurs de k , on n’a que des majorations pour G, obtenues par des procédés particuliers: G(3) 諒 7, G(5) 諒 23.

Le nombre g (k ) intervenant dans la formulation originale du problème de Waring a pu, grâce aux travaux de Vinogradov, être complètement déterminé, sauf pour k = 4 et k = 5; il est toujours au moins égal à 2^k 漣 2 + [(3/2)^k ] et est égal à ce nombre, sauf pour un nombre fini d’exposants k . On a:

Le problème de Goldbach

Sans doute sur la base d’essais numériques, un contemporain d’Euler, C. Goldbach, avait émis en 1742 la conjecture que tout entier pair est somme de deux nombres premiers et tout entier impair somme de trois nombres premiers. Aucune de ces deux conjectures n’est encore complètement démontrée, mais Vinogradov a pu établir en 1937 que tout nombre impair assez grand est somme de trois nombres premiers. Si l’on pose:

où la somme est étendue à tous les nombres premiers p 諒 n , le nombre de solutions de l’équation p ¹ + p ² + p ³ = n en nombres premiers est donné par:

pour un x ⁰ réel quelconque. L’évaluation de cette intégrale se fait encore en suivant l’idée de la méthode de Hardy-Littlewood; on prend x ⁰ = n ^-1 ln¹⁵n et, dans l’intervalle [x ⁰, x ⁰ + 1], les «major arcs» sont les intervalles centrés aux points h/q (où q 諒 ln¹⁵n , 0 麗 h 麗 q , h premier à q ) et de demi-longueur x ⁰. Si E¹ est le complémentaire de la réunion de ces intervalles, Vinogradov commence par prouver, par une ingénieuse et longue succession de majorations de nature élémentaire (n’utilisant même pas le théorème des nombres premiers), que l’on a:

où C est une constante. La partie profonde du raisonnement est l’évaluation de f (x , m ) pour m 諒 n et pour x dans un «major arc», c’est-à-dire x = (h/q ) + y où q et h sont comme ci-dessus et où |y | 諒 x ⁰. L’idée essentielle est de remarquer que, dans la somme:

si l’on ne considère que les nombres premiers ne divisant pas q , l’erreur commise en valeur absolue est au plus q . Mais la somme restante s’écrit alors:

où 神(m ; q , l ) est le nombre de nombres premiers p 諒 m qui appartiennent à la progression arithmétique des nombres kq + l (k entier arbitraire). En utilisant (cf. Le théorème de la progression arithmétique , in chap. 2) la forme la plus précise connue de l’estimation asymptotique de 神(m ; q , l ), on parvient alors à l’inégalité:

où 猪 est la fonction de Möbius, 﨏 la fonction d’Euler et où:

Autrement dit, on a remplacé la sommation sur les nombres premiers 諒 m par une sommation sur tous les entiers 諒 m , beaucoup plus maniable. En particulier, si l’on pose:

on montre élémentairement que l’on a:

d’autre part, on introduit, pour tout entier q , la somme:

on montre que la série:

est absolument convergente et que l’on a:

où le produit est étendu à tous les nombres premiers; cela donne S(n ) = 0 pour n pair, et on montre aisément que S(n ) 閭 1 pour n impair. On déduit alors de (23), (24) et (25) l’inégalité:

ce qui, joint à (27), prouve que r (n ) 閭 1 pour n assez grand.

2. La théorie multiplicative

Le point de vue formel

On a vu supra (cf. Le point de vue formel , in chap. 1) que le monoïde multiplicatif N vérifie la condition (D), et qu’on peut donc définir son algèbre large sur un corps K; on se bornera encore au cas où K = C, et on notera D cette algèbre large. On note ici n size=1^漣 size=1^諸 l’élément u ⁿ de la base canonique de C[N], et cette fois, un élément f 捻 D se note:

et on dit que c’est une série formelle de Dirichlet . Le produit de deux éléments f et g de D se note aussi f g et est défini par:

ce qui s’écrit encore:

Pour qu’une série formelle de Dirichlet:

ait un inverse dans D, il faut et il suffit que f (1) 0. L’ordre d’une série formelle de Dirichlet:

non nulle est encore défini comme le plus petit entier n tel que f (n ) 0. On voit qu’on peut encore définir dans D la somme infinie (4) et le produit infini (5) lorsque l’ordre de f ⁿ tend vers + 秊 avec n . Si on convient d’écrire F( 諸) une série formelle de Dirichlet:

on écrit alors F ( 諸 + 見), pour tout nombre complexe 見, la série formelle de Dirichlet:

de même, on écrit F (k 諸), pour tout entier k , la série formelle de Dirichlet:

et F ( 諸) la série formelle de Dirichlet:

La décomposition d’un entier en facteurs premiers exprime encore que le monoïde multiplicatif N est «produit direct» d’une infinité de monoïdes isomorphes au monoïde additif N. Dans la théorie des séries formelles de Dirichlet, ce fait apparaît de la manière suivante. Rappelons qu’une fonction f définie dans N, à valeurs complexes, est dite multiplicative si l’on a f (1) = 1 et f (mn ) = f (m )f (n ) pour deux entiers m et n premiers entre eux ^{[cf. DIVISIBILITÉ]}. On vérifie aisément que, si f et g sont multiplicatives, il en est de même de f g et de l’inverse de f dans D. Lorsque f est multiplicative, on a la décomposition en produit infini (produit étendu à tous les nombres premiers p ) de la série formelle de Dirichlet:

qui équivaut à la décomposition f (n ) = f (p ^{1k 1}) ... f (p ^{r k r} ) pour la décomposition de n en facteurs premiers n = p ^{1k 1} ... p ^{r k r} .

Rappelons ^{[cf. DIVISIBILITÉ]} que la fonction constante i : n 料 1, la fonction de Möbius 猪, la fonction d’Euler 﨏, la fonction n 料 d (n ), où d (n ) est le nombre de diviseurs de n , et les fonctions n 料 靖 size=1^見(n ), où 靖 size=1^見(n ) est la somme des puissances 見-ièmes des diviseurs de n , sont multiplicatives; il en est de même de la fonction n 料 2 size=1^{益(n )}, où 益(n ) est le nombre des facteurs premiers distincts de n , de la fonction de Liouville n 料(n ), définie par(n ) = (face=F0019 漣 1)^k , où k est le nombre des facteurs premiers de n , comptés avec leur ordre de multiplicité; enfin, la fonction de von Mangoldt n 料 炙(n ) est aussi multiplicative, 炙(n ) étant 0 si n n’est pas une puissance d’un nombre premier, égal à ln p si n = p ^m est une telle puissance.

À ces diverses fonctions multiplicatives correspondent des séries formelles de Dirichlet, en premier lieu la série zêta :

et on montre que les séries formelles de Dirichlet correspondant aux autres fonctions multiplicatives s’expriment à l’aide de la série zêta par:

Séries de Dirichlet

L’idée fondamentale de la théorie multiplicative est tout à fait analogue à celle de la théorie additive: si, dans une série formelle de Dirichlet:

on remplace le symbole n size=1^漣 size=1^諸 par le nombre complexe n ^-s = exp (face=F0019 漣 s ln n ), où s 捻 C, on obtient une série de nombres complexes, qui, si elle converge, a pour somme une fonction de s ; l’application de la théorie de Cauchy à cette fonction dans les régions du plan C où cette fonction est analytique donnera des informations sur les coefficients a (n ) de la série.

On pose s = 靖 + it , où 靖 et t sont réels, pour tout nombre complexe s , de sorte que l’on a:

et, par suite, si la série de Dirichlet:

converge absolument pour s ¹ = 靖¹ + it ¹, elle converge absolument dans le demi-plan 靖 閭 靖¹; on en déduit aussitôt qu’il existe un nombre réel 靖^a (éventuellement égal à + 秊 ou 漣 秊) tel que la série converge absolument pour 靖 礪 靖^a et ne converge pas absolument pour 靖 麗 靖^a . Mais, contrairement à ce qui se passe pour les séries entières, il se peut qu’une série de Dirichlet soit convergente sans l’être absolument dans toute une partie ouverte non vide du plan. De façon précise, on montre, par un raisonnement d’intégration par parties, que, si la série converge pour s ⁰ = 靖⁰ + it ⁰, elle converge uniformément dans tout angle de sommet s ⁰, défini par s = s ⁰ + 福e ⁱ size=1, avec 福 閭 0 et 漣 見 諒 諒 見, 見 étant un nombre quelconque tel que 0 麗 見 麗 神/2. De là on déduit aisément qu’il existe un nombre réel 靖^c 諒 靖^a tel que la série converge pour 靖 礪 靖^c et ne converge pas pour 靖 麗 靖^c ; en outre, on a toujours 靖^a 漣 靖^c 諒 1. La fonction:

est alors holomorphe pour 靖 礪 靖^c , et ses dérivées s’obtiennent en dérivant la série de Dirichlet terme à terme dans ce demi-plan. Lorsque la fonction a (n ) est multiplicative, la formule:

est valable pour 靖 礪 靖^a , le produit infini du second membre (dit «produit eulérien » de F) étant uniformément convergent dans tout demi-plan 靖 諒 靖^a + 﨎 pour 﨎 礪 0.

La théorie de Cauchy ne fournit pas ici directement les coefficients a (n ) à l’aide d’une intégrale curviligne, mais seulement les sommes de ces coefficients:

On montre en effet que, pour tout nombre 見 礪 0 tel que 見 礪 靖^a et tout m entier 諒 1, on a, pour tout T 礪 0,

Le théorème des nombres premiers

À la fin du XVIII^e siècle, A. M. Le Gendre et C. F. Gauss, indépendamment, avaient émis la conjecture (d’après les tables de nombres premiers) que le nombre 神(x ) des nombres premiers 諒 x avait, lorsque x tend vers + 秊, une partie principale:

Gauss avait même précisé cette conjecture en indiquant comme meilleure approximation de 神(x ) la fonction li, appelée logarithme intégral:

Le théorème des nombres premiers établit (46); démontré d’abord en 1896 par J. Hadamard et C. de La Vallée-Poussin indépendamment, il a été par la suite amélioré par divers mathématiciens et l’on peut maintenant montrer que:

où c 礪 0 est une constante. Si l’hypothèse de Riemann était vraie ^{[cf. ZÊTA (FONCTION)]}, on pourrait remplacer dans (47) le terme complémentaire par O(m ^1/2 ln m ): on sait que c’est la meilleure majoration possible.

La démonstration de (47) utilise la formule (45) appliquée à la série de Dirichlet:

Si l’on pose:

où p parcourt les nombres premiers 諒 m , et (n ) = (n ) 漣 n , on a:

Dans cette dernière expression, la première somme diffère de li (m ) par une quantité bornée. Pour prouver (47), il suffit donc d’établir que:

pour deux constantes C 礪 0 et c 礪 0.

Or, si l’on pose:

on montre élémentairement que:

et on est donc ramené à montrer que l’on a:

On applique (45) en prenant:

On sait que la fonction 﨣 se prolonge en une fonction méromorphe dans C, ayant un seul pôle simple au point s = 1 et ne s’annulant pas dans le demi-plan 靖 礪 1 ^{[cf. ZÊTA (FONCTION)]}; la série de Dirichlet F(s ) converge absolument dans ce demi-plan, et l’on montre aisément à partir de (45) que l’on a, en posant 兀(s ) = (s 漣 1) 﨣(s ),

Le point essentiel est de majorer l’intégrale qui subsiste dans cette formule. La propriété de la fonction 兀(s ) que l’on utilise pour cela est la suivante:

Dans l’ensemble D (cf. figure, où les proportions ne sont pas respectées), défini par les inégalités:

où t = max (|t |, 100), la fonction 兀 ne s’annule pas, et l’on a l’inégalité:

ou C¹ est une constante.

Cela s’établit à l’aide de raisonnements assez longs, mais élémentaires, de la théorie des fonctions holomorphes d’une variable complexe, à partir des inégalités suivantes:

la seconde inégalité étant conséquence de l’observation que la partie réelle de 3 + 4e ⁱ size=1 + e 2i est toujours 諒 0 pour réel.

Cela étant, on utilise (48) de la façon suivante. En vertu du théorème de Cauchy appliqué à la fonction:

holomorphe dans un voisinage ouvert de D, l’intégrale de cette fonction, étendue au segment d’extrémités 見 漣 i T, 見 + i T, est égale à l’intégrale étendue aux trois autres côtés du rectangle d’extrémités 見 梁 i T, 見 梁 i T, pourvu que ce rectangle soit contenu dans D (cf. figure). On prend:

qui répond à la question pour m assez grand. Il est alors facile, en appliquant la majoration (48), de voir que l’on a bien:

pour une constante convenable C ², ce qui achève la démonstration.

Le théorème de la progression arithmétique

La méthode d’Euclide prouvant l’existence d’une infinité de nombres premiers peut, convenablement modifiée, établir par exemple qu’il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4 n + 3 ou de la forme 6 n + 5. Le théorème de la progression arithmétique affirme que, quels que soient les entiers k et l premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers de la forme kn + l ; il fut démontré pour la première fois en 1837 par Dirichlet, qui, à cette occasion, introduisit à la fois dans la science les deux notions de série de Dirichlet et de caractère d’un groupe abélien fini ^{[cf. GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes]}; les améliorations et généralisations de ce théorème utilisent toujours l’idée extrêmement originale de Dirichlet.

La forme la plus précise du théorème de Dirichlet est la suivante:

Notons 神(m ; k, l ) le nombre de nombres premiers p 諒 m qui sont de la forme kn + l ; le nombre 神(m ; 1, 1) n’est autre que le nombre 神(m ) introduit plus haut. Alors, pour tout entier N, on peut écrire:

où la constante C(N) ne dépend que de N, l’inégalité étant valable pour tout entier m , tout entier k tel que:

et tout entier l 麗 k premier avec k ; 﨏 est la fonction d’Euler, 﨏(k ) étant donc le nombre d’entiers l tels que 1 諒 l 麗 k , qui sont premiers avec k . La comparaison des parties principales de 神(m ; k , l ) et de 神(m ) montre que l’on peut encore dire que les nombres premiers sont «également répartis » dans les 﨏(k ) progressions arithmétiques kn + l .

L’idée fondamentale de Dirichlet est de considérer à la fois ces 﨏(k ) classes d’entiers et d’utiliser le fait qu’elles forment naturellement un groupe commutatif , savoir le groupe (Z/k Z) des éléments inversibles de l’anneau Z/k Z. Il y a donc 﨏(k ) caractères 﨑^h , 1 諒 h 諒 﨏(k ), de ce groupe (à valeurs dans le groupe U des nombres complexes de valeur absolue 1), qui ici sont des homomorphismes de (Z/k Z) dans U (ce qui entraîne que leurs valeurs sont des racines 﨏(k )-ièmes de l’unité ); rappelons que l’on a les relations d’ orthogonalité :

pour x , y dans (Z/k Z),

la somme étant étendue à tous les éléments x de (Z/k Z). L’application 﨑¹: x1 est un caractère dit principal et, pour tout caractère non principal 﨑, on a, d’après (54),

À partir de ces caractères de (Z/k Z), on définit sur Z des fonctions 﨑(n ) dits «caractères modulo k » en prenant 﨑(n ) égal à 﨑(x ) où x est la classe de n (mod k ) si (n , k ) = 1, et 﨑(n ) = 0 si (n , k ) 1. On vérifie aussitôt que 﨑(mn ) = 﨑(m ) 﨑(n ) quels que soient les entiers m et n ; le «caractère principal modulo k » est la fonction égale à 1 pour (n , k ) = 1, à 0 sinon.

Cela étant, on peut écrire:

où p parcourt l’ensemble des nombres premiers 諒 m et g (n ) = 1 si n 令 l (mod k ), g (n ) = 0 sinon. Or, en raison des relations d’orthogonalité (53), on peut écrire:

d’où:

où l’on a posé:

Si 﨑¹ est le caractère principal modulo k , on a d’autre part:

pour k 諒 m ; en vertu du théorème des nombres premiers sous la forme (47), on voit que, pour établir (51), il suffit de montrer que l’on a:

pour h = 2,3, ..., 﨏(k ) et k 諒 ln^Nm .

La marche suivie est analogue à celle du théorème des nombres premiers, en remplaçant la fonction 﨣(s ) par les «fonctions L» de Dirichlet:

définies pour chaque k et chaque «caractère modulo k » 﨑. Il suffit de se borner aux caractères non principaux; on montre alors aisément que la série de Dirichlet (59) converge dans le demi-plan 靖 礪 0 (contrairement à ce qui se passe pour un caractère principal) et que l’on a dans ce demi-plan l’inégalité analogue à (49):

si 﨑 est un caractère modulo k .

La difficulté est d’obtenir une inégalité analogue à (48) pour la dérivée logarithmique L (s , 﨑)/L(s , 﨑) dans un domaine D^N analogue au domaine D considéré dans la figure supra , mais dépendant de N ainsi que la constante C¹, l’inégalité devant être satisfaite pour tous les caractères non principaux modulo k et tous les entiers k vérifiant (52). Le point capital est de montrer que les L(s , 﨑) ne s’annulent pas dans un tel domaine D^N; on y parvient assez facilement pour les points d’un tel domaine non situés sur l’axe réel en utilisant des inégalités analogues à (50) pour les fonctions L. On prouve aussi (comme l’avait déjà fait Dirichlet) que L(1, 﨑) 0 pour tout caractère non principal, ce qui permet d’obtenir (51) pour un k fixé . Pour avoir la forme générale de (51), il faut faire appel à un résultat plus profond, démontré par C. L. Siegel en 1936: Pour tout 﨎 礪 0, il y a un entier A( 﨎) tel que, pour tout k 閭 A( 﨎) et tout caractère non principal 﨑 modulo k , on ait L(s , 﨑) 0 pour 1 漣 k size=1^漣 size=1^﨎 諒 s 諒 1.

Mentionnons ici un résultat démontré par Y. Linnik au moyen d’autres méthodes: le plus petit nombre premier appartenant à une progression arithmétique kn + l , pour k et l premiers entre eux, est majoré par k ^c , où c est une constante.

Le nombre de classes d’idéaux d’un corps quadratique

Les résultats précédents peuvent se généraliser aux idéaux premiers d’un corps de nombres algébriques, grâce à l’extension à ces corps des définitions de la fonction zêta et des fonctions L ^{[cf. ZÊTA (FONCTION)]}. Nous ne mentionnerons ici qu’un cas particulier des résultats de cette théorie, le lien découvert par Dirichlet entre les fonctions L et le nombre de classes d’idéaux d’un corps quadratique. De façon précise, le discriminant d d’un corps quadratique est non divisible par un carré 4, et est ou multiple de 4, ou de la forme 4 k + 1; pour tout entier impair n 礪 1, on désigne par (d /n ) le symbole de Jacobi ^{[cf. DIVISIBILITÉ]} si d et n sont premiers entre eux, 0 sinon; on définit (d /2) comme égal à 1 si d 令 1 (mod 8), à 漣 1 si d 令 漣 1 (mod. 8), et à 0 dans les autres cas; on montre alors que n 料 (d /n ) est un caractère non principal modulo |d |, et on peut donc former la série correspondante:

et la formule découverte par Dirichlet pour le nombre de classes h (d ) du corps quadratique de discriminant d est:

où 見 = 神/ 連|d | si d 麗 漣 4, 見 = 神/3 連3 pour d = 漣 3, 見 = 神/4 pour d = 漣 4 et 見 = 2 ln 﨎^d / 連d si d 礪 0, 﨎^d étant l’«unité fondamentale» du corps. C’est à l’aide de cette formule que Dirichlet prouva que L(1, 﨑) 0 pour tout caractère non principal.

L’application la plus intéressante de la formule (61) a été donnée par Siegel; une des formes de son théorème cité plus haut implique que:

lorsque |d | tend vers + 秊; on en déduit, par (61),

lorsque d tend vers 漣 秊, et:

lorsque d tend vers + 秊.

L’équivalence (62) prouve entre autres une conjecture de Gauss, selon laquelle h (d ) croît indéfiniment lorsque d tend vers 漣 秊 (conjecture démontrée d’abord par H. Heilbronn). En particulier, il n’y a qu’un nombre fini de corps quadratiques de discriminant d 麗 0 dont le nombre de classes d’idéaux est donné; pour h (d ) = 1, on sait, d’après Stark et Baker (1966), que les seuls corps quadratiques correspondent aux valeurs 漣 3, 漣 4, 漣 7, 漣 8, 漣 11, 漣 19, 漣 43, 漣 67 et 漣 163 de d.

3. Valeurs moyennes de fonctions arithmétiques

L’irrégularité des fonctions arithmétiques

Les fonctions définies dans l’ensemble des entiers 礪 0 par des conditions de nature arithmétique, telles les fonctions multiplicatives qu’on a étudiées plus haut (cf. chap. 2, Le point de vue formel ), ont une allure en général très irrégulière. Par exemple, la fonction d (n ) est égale à 2 pour n premier, mais elle est très grande pour les nombres de la forme m !; on peut montrer par des procédés élémentaires (n’utilisant pas le théorème des nombres premiers) que l’on a:

Pour 靖¹(n ), l’irrégularité est moins prononcée; on a 靖¹(n ) = n + 1 si n est premier, et on montre (à l’aide du théorème des nombres premiers) que:

où 塚 est la constante d’Euler ^{[cf. GAMMA (FONCTION)]}. De même, pour la fonction d’Euler 﨏(n ), on a 﨏(n ) = n (1 漣 1/p ) pour n = p ^k , puissance d’un nombre premier, ce qui entraîne:

on montre ici que l’on a:

Une fonction arithmétique très étudiée, mais sur laquelle on sait encore peu de chose, est la différence p ⁿ⁺¹ 漣 p ⁿ entre deux nombres premiers consécutifs. On conjecture qu’il y a une infinité de valeurs de n pour lesquelles p ⁿ⁺¹ 漣 p ⁿ = 2 (nombres premiers «jumeaux») et que le nombre des p ⁿ 諒 x ayant cette propriété est asymptotiquement égal à Cx /(ln x )², avec:

(produit étendu aux nombres premiers impairs); mais tout ce que l’on a pu prouver jusqu’ici, avec V. Brun, est que la série des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente. Dans l’autre direction, on peut, par une étude poussée de la fonction 﨣(s ), montrer que:

si l’hypothèse de Riemann était vraie, elle entraînerait p ⁿ⁺¹ 漣 p ⁿ = O(p ^{n 1/2} ln p ⁿ ).

Moyennes des fonctions arithmétiques

On espère en général que, lorsqu’une fonction f définie pour les entiers 礪 0 a une allure irrégulière, la fonction F(m ) = f (1) + f (2) + ... + f (m ), égale à m fois la «valeur moyenne» de f dans l’intervalle 1 諒 n 諒 m , se comportera de façon plus satisfaisante; c’est ce qui se passe pour la plupart des fonctions arithmétiques. Le théorème des nombres premiers en est un exemple: de façon générale, si P est une partie de N et si l’on prend pour f la fonction caractéristique de P, la fonction correspondante m 料 F(m )/m est ce qu’on appelle la densité de P dans l’intervalle [1, m ]; le théorème des nombres premiers dit que, pour l’ensemble P des nombres premiers, cette «densité» a une partie principale 1/ln m .

Pour certaines fonctions considérées supra (cf. Le point de vue formel , in chap. 2), on peut effectivement obtenir des parties principales de leurs «moyennes» de façon élémentaire; par exemple, on a:

la dernière somme étant la «densité» dans l’intervalle [1, x ] de l’ensemble des entiers sans facteur carré.

À l’aide du théorème des nombres premiers, on établit:

avec:

(somme étendue aux nombres premiers).

Le premier membre de (67) admet une interprétation géométrique intéressante: c’est le nombre des points (r , s ) du réseau Z² dans le plan qui appartiennent à la région du plan formée des points (u , v ) vérifiant u 閭 1/2, v 閭 1/2 et uv 諒 x . Cette interprétation suggère aussitôt que la partie principale de ce nombre est l’aire de la région précédente et conduit à améliorer la majoration du terme complémentaire. D’une façon générale, considérons dans le plan la région G définie par s 諒 u 諒 w , q 諒 v 諒 f (u ), où s 漣 1/2, w 漣 1/2 et q 漣 1/2 sont entiers; f est supposée deux fois continûment différentiable, sa dérivée étant 礪 0 dans [s , w ], et sa dérivée seconde ne s’annulant pas dans cet intervalle.

Soit I(G) le nombre de points du réseau Z² dans G et A(G) l’aire de G. On a alors l’inégalité suivante, établie par Van der Corput:

où C est une constante absolue et r un nombre vérifiant les relations r 礪 1, r 礪 sup (1/|f (u )|) et r 礪 sup (1/f (u ))³. L’idée de la démonstration consiste à faire varier le domaine G en remplaçant la fonction f (u ) par f (u ) + y , avec |y | 諒 r size=1^漣1/3; soit G^y cette région variable. Si l’on pose pour simplifier = r size=1^漣1/3, 猪 = sup f (u ), on voit aussitôt que l’on a:

on a d’autre part:

on majorera donc I(G) 漣 A(G) si l’on sait majorer:

et on procédera de même pour A(G) 漣 I(G) en donnant à y des valeurs négatives. Le point essentiel est que l’on peut écrire l’intégrale:

sous forme d’une série double :

où:

à l’aide du développement en série de Fourier de x 漣 1/2. Or on a P(y , 0, 0) = A(G^y ); tout revient à majorer au second membre de (75) la somme des termes autres que le terme principal correspondant à m = n = 0. On y parvient grâce aux hypothèses faites sur f et grâce à un lemme de Van der Corput, d’après lequel, pour une fonction réelle F, on obtient:

où C est une constante absolue, si, dans l’intervalle [ 見, 廓], on a F (t ) 閭 礪 0. Appliquée convenablement à la fonction f (u ) = x/u , l’inégalité (74) permet (théorème de Voronoï) de remplacer, dans (67), O(face=F0019 連x ) par O(x ^1/3 ln x ). Si l’on prend pour G la région limitée par une ellipse au ² + bv ² = x , on obtient l’expression:

En outre, Jarnik a pu montrer que, dans l’inégalité (74), il n’est pas possible de remplacer l’exposant 2/3 par un nombre plus petit, ce qui tend à conjecturer que, dans (77), l’exposant 1/3 est le meilleur possible. Mais on a particulièrement étudié le cas a = b = 1; si U(n ) est le nombre de solutions de l’équation u ² + v ² = n (cf. Sommes de carrés , in chap. 1), I(G) est, dans ce cas, la somme:

et Van der Corput a pu prouver qu’il existe un 見 礪 0 tel que:

D’autre part, Hardy a démontré que, dans cette formule, on ne peut pas remplacer 1/3 漣 見 par 1/4 (on conjecture cependant que n’importe quel exposant 礪 1/4 est possible). Ces deux résultats découlent d’une analyse extrêmement subtile, à partir de la remarquable identité de Hardy:

où J¹ désigne la fonction de Bessel d’indice 1.

Interprétations probabilistes

Étant donné une fonction réelle mesurable f définie pour 0 諒 t 麗 1, pour tout nombre 諸 tel que 漣 秊 諒 諸 諒 + 秊, on peut définir la «probabilité» pour que f (t ) 麗 諸 comme la mesure de l’ensemble des t vérifiant cette condition: si on désigne ce nombre par 靖( 諸), la fonction 靖 est une fonction croissante et continue à gauche dans la droite réelle achevée R 漣 (cf. espaces MÉTRIQUES, chap. 1) telle que 靖(face=F0019 漣 秊) = 0 et 靖 (+ 秊) = 1 et est dite «fonction de répartition» de f . La «moyenne»:

de f est alors égale à:

Les «lois limites» du calcul des probabilités affirment que, sous certaines conditions, pour une suite (f ⁿ ) de fonctions mesurables, les fonctions de répartition 靖ⁿ correspondantes convergent vers une fonction de répartition, dont la plus connue est la fonction de Gauss:

Considérons maintenant une fonction réelle h définie dans l’ensemble N des entiers 閭 0. Pour tout entier N et tout 諸 﨎 R 漣, soit K^N( 諸) le nombre des entiers n 諒 N tels que h (n ) 麗 諸; la fonction:

est la fonction de répartition de la fonction f ^N(t ) définie, pour 0 諒t 麗 1, par les conditions:

pour:

Si ces fonctions 靖^N tendent vers une limite 靖 lorsque N tend vers + 秊, cela signifie donc que, pour tout 諸, la suite des entiers n telle que h (n ) 麗 諸 a une densité 靖( 諸); on dit alors que h a une «fonction de répartition» 靖.

On dit que h est additive si e ^h est multiplicative, soit h (mn ) = h (m ) + h (n ) si m et n sont premiers entre eux. Erdös et Wintner ont montré que, pour de telles fonctions, on peut, en utilisant le théorème des nombres premiers, donner la condition nécessaire et suffisante suivante pour l’existence d’une fonction de répartition. Les deux séries:

doivent être convergentes ; ici p parcourt l’ensemble des nombres premiers, avec h ⁺(p ) = h (p ) si |h (p )| 諒 1, et h ⁺(p ) = 1 dans le cas contraire. En outre, d’après P. Lévy, la fonction de répartition 靖 est continue si et seulement si la somme des inverses 1/p des nombres premiers pour lesquels f (p ) 0 est infinie.

Des exemples, où ces conditions sont vérifiées, sont donnés par les deux fonctions:

pour la première de ces deux fonctions, la fonction de répartition 靖( 諸) est en outre «singulière» au sens de Lebesgue (autrement dit, Erdös a montré qu’elle a une dérivée nulle presque partout, sans être constante).

Si la seconde des séries (79) converge, mais non la première, il y a encore une fonction de répartition pour la fonction:

Enfin, si les deux séries divergent, il faut considérer la fonction:

où l’on pose:

il y a alors toujours, d’après Erdös et Kac, une fonction de répartition pour g égale à la fonction de Gauss G( 諸). Par exemple, si l’on prend pour h (n ) la fonction 益(n ) et si K^N( 諸) est l’ensemble des entiers n 諒 N tels que:

alors K^N( 諸)/N tend vers G( 諸), et on peut même prouver la «loi du logarithme itéré»:

Encyclopédie Universelle. 2012.